Het meetkundig gemiddelde van de delers van een getal
Het meetkundig gemiddelde
In 2 × 9 × 12 = m × m × m is m het meetkundig gemiddelde van 2 , 9 en 50.
Dus m3 = 216 en zo is m = ∛216 = 6.
De delers van 144
144 = 1 × 144 = 2 × 72 = 3 × 48 = 4 × 36 = 6 × 24 = 8 × 18 = 12 × 12.
Het product van al die delers is
144 × 144 × 144 × 144 × 144 × 144 × 144 × 144 = 1447.
Die zeven ‘delerparen’ bevatten veertien delers.
Het meetkundige gemiddelde is dan 14√(1447 ) = √144 = 12. Dus
1 × 144 × 2 × 72 × 3 × 48 × 4 × 36 × 6 × 24 × 8 × 18 × 12 × 12 =
12 × 12 × 12 × 12 × 12 × 12 × 12 × 12 × 12 × 12 × 12 × 12 × 12 × 12.
Het valt op, dat het meetkundige gemiddelde van alle delers van 144 gelijk is aan √144. Zou zoiets voor elk natuurlijk getal gelden?
Een delerpaar bestaat uit twee delers: een deler en zijn ‘co-deler’. De twee delers zijn elkaars codeler. Dat woord heb ik zelf bedacht. Het is een heeltallig quotiënt.
Het meetkundig gemiddelde m van de delers van telgetal a
Stel, dat a bijvoorbeeld k delerparen heeft, bedoeld zoals in het voorgaande paragraafje.
--- Bij a = 1 is k = 1 met twee gelijke delers, 1 en 1.
--- Bij priemgetallen is k = 1 met de twee delers, 1 en p.
--- In het voorbeeld hiervoor is k = 7.
Het product van die k delerparen is ak. Dat is het product van 2k delers.
Het meetkundig gemiddelde van die 2k delers is dan 2k√(ak) = √a.
Samenvatting
Het meetkundige gemiddelde van alle delers van het telgetal a is gelijk is aan √a.
(Meestal is m geen geheel getal.)
Vraagje
Bij een kwadraat komen twee gelijke delers voor. Zie 12 bij 144.
Maakt het voor het resultaat iets uit, als die dubbele deler enkel wordt gerekend?